325. Ράβδος και στρεφόμενο πλαίσιο

 

Αβαρής ράβδος ΑΓ έχει μήκος L=0,8m, και ισορροπεί αρχικά  σε οριζόντια θέση. Στο άκρο Γ της ράβδου υπάρχει αβαρές τετράγωνο πλαίσιο πλευράς α=0,1m στις κορυφές του οποίου υπάρχουν αντίστοιχα τέσσερις σημειακές μάζες m=1Kg. Το πλαίσιο στρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, σε κατακόρυφο επίπεδο και γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του, που ταυτίζεται με το άκρο Γ της ράβδου όπως φαίνεται στο σχήμα. H σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πλαισίου είναι ω_π=10rad/s. Στη συνέχεια αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από το άκρο Α της ράβδου. Να υπολογιστούν:

α) Η αρχική στροφορμή του συστήματος των τεσσάρων μαζών ως προς τον άξονα περιστροφής στο σημείο Α και

β) Η στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής τη στιγμή που καθώς περιστρέφεται βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

321. Ισορροπία και μετά ταλάντωση

 Ο στερεός κύλινδρος του σχήματος μάζας m=4Kg και ακτίνας R, ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ με ημφ=0,6 και συνφ=0,8 δεμένος με νήμα. Η άλλη άκρη του νήματος είναι δεμένη επίσης σε μάζα m και αυτή με ελατήριο σταθεράς Κ=D=400N/m όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο, τότε:

α) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος και η συνολική δύναμη που δέχεται ο κύλινδρος από το κεκλιμένο επίπεδο. Για ποιες τιμές του συντελεστή στατικής τριβής ο κύλινδρος ισορροπεί;  

β) Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα. Τότε εκείνη τη στιγμή να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος που είναι αρχικά δεμένο στο ελατήριο.

γ) Το σώμα m, μόλις βρεθεί στη Θ.Ι με θετική ταχύτητα για πρώτη φορά αποκολλάται από το ελατήριο. Τότε να γίνει η γραφική παράσταση της ορμής του σε συνάρτηση με το χρόνο και για χρόνο t=0,3π s, από τη στιγμή που κόψαμε το νήμα.

 δ) Να γίνει η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος για τον παραπάνω χρόνο. Θεωρείστε την προς τ’ αριστερά φορά θετική.

 Για τις πράξεις g=10m/s².

 

Συνοπτική λύση:

316. Σφαίρα σε οριζόντια επίπεδα (2).

 Ομογενής σφαίρα μάζας m=2Kg και ακτίνας R=10cm ηρεμεί αρχικά πάνω σε οριζόντιο επίπεδο σε σημείο Α. Κάποια στιγμή (t=0), εξασκείται στο κέντρο μάζας Κ της σφαίρας,  σταθερή οριζόντια δύναμη F=14N όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα τότε αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με επιτάχυνση α_cm=5m/s².

Όταν η σφαίρα διανύσει απόσταση (ΑΒ)= x₁=1,6m συναντάει λείο οριζόντιο επίπεδο ΒΓ, με (ΒΓ)=x₂=6m και συνεχίζει να κινείται  πάνω σ’ αυτό, οπότε κάποια στιγμή φτάνει στο σημείο Γ

A) α) Να υπολογιστεί η στατική τριβή Τ_στ για την κίνηση της σφαίρας από το Α μέχρι το Β.

β) Όταν η σφαίρα κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο ΒΓ να δείξετε ότι τότε, η γωνιακή ταχύτητά της παραμένει σταθερή ενώ η μεταφορική της ταχύτητα αυξάνεται.

Β) Καθώς η σφαίρα φτάνει στο σημείο Γ, συναντάει ένα οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,8 και συνεχίζει να κινείται πάνω σ’ αυτό. Αν μετά το Γ η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας είναι σταθερή και ίση με α_γων=200rad/s², τότε σε πόσο χρόνο t₁ από τη στιγμή που συναντάει η σφαίρα το οριζόντιο αυτό επίπεδο αρχίζει η κύλισή της;

Γ) Να υπολογιστεί ο συνολικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας  σε κάθε επίπεδο κίνησης.

Συνοπτική λύση:

314. Ισορροπία και ανατροπή σφαίρας

 

Η σφαίρα του σχήματος είναι ομογενής και έχει μάζα m=1Kg.

Στη σφαίρα ασκούνται οι δυο δυνάμεις του σχήματος στα σημεία Ζ και Ε που είναι ίσες με F και έχουν τη φορά του σχήματος. Η σφαίρα μπορεί να υπερπηδήσει είτε το σκαλοπάτι Α, είτε το σκαλοπάτι Β.

Α) Να υπολογιστεί η ακτίνα της σφαίρας αν δίνεται ότι (ΑΒ)=120cm και h=40cm.

Β ) Αν δίνονται (ΚΕ)=40cm και (ΚΖ)=50cm, τότε ως προς ποιο σημείο Α ή Β είναι δυνατόν να ανατραπεί η σφαίρα; Ποιά είναι τότε η ελάχιστη τιμή της F;

Γ) Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται τότε αυτή στα σημεία επαφής Α και Β.

Δίνεται g=10m/s².

Συνοπτική λύση:

307. Κύλινδρος και …ράβδος σε κεκλιμένο επίπεδο

 

 Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα Μ=3Kg και ακτίνα R=10cm. Ο κύλινδρος βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30⁰ και  ισορροπεί οριακά, ώστε ίσα – ίσα να μην υπερπηδά το εμπόδιο ύψους h=5cm.

Συνοπτική Λύση:

305. Περιστροφή ράβδου-m

 

Μια ράβδος ΑΒ, που θεωρείται αβαρής και έχει μήκος L=0,8m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από άξονα που περνά από το  σημείο της Ο. Το σημείο Ο απέχει από το άκρο της Α απόσταση (ΟΑ)=0,2m. Επίσης στο σημείο Γ της ράβδου με (ΒΓ)=(ΟΑ) υπάρχει στερεωμένη σημειακή μάζα m= 1Kg. Αρχικά η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση ώστε το άκρο της Β να βρίσκεται κάτω από τον άξονα περιστροφής.

Μια δεύτερη σημειακή μάζα m, κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα υ και συγκρούεται με τη μάζα m που βρίσκεται στο Γ. Αν η κρούση θεωρηθεί ελαστική και ότι η μάζα m τόσο πριν όσο και μετά την κρούση κινείται οριζόντια, τότε να υπολογιστεί η τιμή της ταχύτητας υ, ώστε να πετύχουμε οριακή ανακύκλωση της ράβδου.

Δίνεται g=10m/s².

 

Συνοπτική λύση:

302. Σύστημα οδοντωτών τροχών

 

Η διάταξη του σχήματος αποτελείται από δυο οδοντωτούς τροχούς.  Ο πιο μεγάλος  έχει ακτίνα R=0,4m. Ο μικρός τροχός έχει ακτίνα r=0,2m. Γύρω από τo μεγαλύτερο τροχό και σε απόσταση r=0,2m υπάρχει ένα αυλάκι, μέσα στο οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί. Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι δεμένο ένα σώμα μάζας m₁= 13/8Kg.

Κάποια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο....................

Συνοπτική λύση:

 301. Τροχαλία και ελατήριο II

 

Η τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δυο συγκολλημένους δίσκους με ακτίνες R=20cm και r=10cm που έχουν κοινό άξονα. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που περνά τον κοινό κέντρο των δίσκων. Τα αβαρή σχοινιά που είναι τυλιγμένα στους δίσκους, έχουν στα ελεύθερα άκρα τους δεμένα τα σώματα με μάζες

m₁=4Kg και m₂=2Kg. Το σώμα μάζας m₁, είναι επίσης δεμένο σε οριζόντιο αβαρές ελατήριο Κ=100Ν/m και μπορεί να κινείται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Κάποια στιγμή εξασκούμε στο σύστημα την οριζόντια δύναμη F=80N που φαίνεται στο σχήμα και το σύστημα ισορροπεί με τι ελατήριο επιμηκυμένο. Τότε:.........

Συνοπτική λύση:

296. Δίσκος και ημικύκλιο

Ο δίσκος του σχήματος έχει ακτίνα r και τον κυλίουμε στην εξωτερική επιφάνεια του ημικυκλίου ακτίνας R=6r. Στη θέση που η διάκεντρος ΟΚ έχει διαγράψει γωνία (θ=π/3) rad, να υπολογιστεί ο αριθμός των περιστροφών που έχει εκτελέσει ο δίσκος. 

 Συνοπτική λύση:

292. Μεταβολή στροφορμής υλικού σημείου

 

Υλικό σημείο μάζας m πραγματοποιεί ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα μέτρου υ σε κυκλική τροχιά ακτίνας

r, όπως στο σχήμα γύρω από το νοητό άξονα περιστροφής zz΄ που είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς της σημειακής μάζας και διέρχεται από το κέντρο της. Αν ο άξονας περιστροφής στραφεί  κατά γωνία θ=60⁰, έτσι ώστε να είναι πάντα κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς και χωρίς να αλλάξει το μέτρο της ταχύτητας υ και της ακτίνας r, τότε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής της σημειακής μάζας m ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι:

Α) mυr/2                                              Β) 0                                           Γ) mυr

Συνοπτική Λύση

291. Σύστημα ράβδων

 

Δυο λεπτές ομογενείς και ισοπαχείς ράβδοι ΑΒ και ΒΓ, από το ίδιο υλικό, έχουν συγκολληθεί κάθετα μεταξύ τους στο άκρο τους Β. Η ράβδος ΑΒ έχει μήκος

L₁=1m και μάζα m₁=3Kg, ενώ η ράβδος ΒΓ έχει μήκος L₂=0,5m. Στο άκρο Γ της ράβδου ΒΓ έχει συγκολληθεί σημειακή μάζα m=0,5Kg, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα των τριών μαζών μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα ZZ΄ που περνά από το σημείο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής της ΑΒ και παράλληλος με τη ΒΓ. Τότε:

 Α) Να υπολογιστεί η ολική ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα ΖΖ΄.

Β) Αν μια δεύτερη σημειακή μάζα m΄=m, κινείται σε οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου πάνω στον ΖΖ΄ και ακτίνας L₁ με σταθερό μέτρο ταχύτητας υ=7m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη μάζα m, τότε να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα ω, του συστήματος των m₁,m₂ και m αμέσως μετά την κρούση.

 Γ) Αν κάποια χρονική στιγμή (t₀=0) μετά την κρούση,  εφαρμόσουμε κάθετα στο μέσο M της ΑΒ, σταθερή κατά μέτρο δύναμη F=N, με φορά αντίθετη τη περιστροφής τότε να βρείτε:

i) το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου M, αμέσως μετά την εφαρμογή της δύναμης F,

ii) τη γωνία στροφής της ΑΒ μέχρι να σταματήσει η περιστροφή του συστήματος,

iii) το χρόνο για να σταματήσει η περιστροφή του συστήματος,

iv) το έργο W της δύναμης F, από τη χρονική στιγμή t₀=0 και μέχρι να σταματήσει η περιστροφή.

Δ)i)Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των m₁,m₂ και m καθώς και της ράβδου ΒΓ.

 ii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος

αμέσως μετά την κρούση.

 Συνοπτική 
Λύση

290. Σύστημα τροχαλιών

 

Το σύστημα του σχήματος αποτελείται από τη διπλή τροχαλία Τ₁ με ακτίνες R=30cm και r₁=20cm και συνολικής ροπής αδράνειας Ι₁=80∙10^-3 Kg∙m² . Ακόμη αποτελείται από την τροχαλία Τ₂ ακτίνας r₂=15cm και ροπής αδράνειας Ι₂=45∙10^-3 Kg∙m² και την αβαρή τροχαλία Τ₃.   

Σώμα μάζας m=1Kg είναι δεμένο στην άκρη αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στην Τ₃, και απέχει από το έδαφος απόσταση h=1,8m.

Το σύστημα αρχικά ισορροπεί και τη χρονική στιγμή t₀=0s, αφήνουμε τη μάζα m να κινηθεί κατακόρυφα μέχρι να φτάσει στο έδαφος. Τότε:

Α. Να συγκρίνετε:

i)                    τις κινητικές ενέργειες των δυο τροχαλιών T₁ και T₂

ii)                  τους ρυθμούς μεταβολής των κινητικών ενεργειών των δυο τροχαλιών T₁ και T₂

iii)                τον αριθμό περιστροφών της κάθε τροχαλίας καθώς και τους ρυθμούς μεταβολής της στροφορμής των Τ₁ και Τ₂.

κάθε χρονική στιγμή.

Β. Για τη χρονική στιγμή t₁ που η μάζα m φτάνει στο έδαφος,

i) να υπολογίσετε τα έργο της τάσης T του νήματος στην τροχαλία Τ₂.

ii) η ακτίνα ΚΒ της Τ₂, θα έχει προλάβει να κάνει μια περιστροφή;

iii) πόση είναι η επιτάχυνση του σημείου Δ της Τ₁, που απέχει απόσταση r₁ από το κέντρο της τροχαλίας;

Γ. Για τη χρονική στιγμή t₁,

i) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της Τ₁,

ii) Να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας ,, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας της μάζας m. Τι παρατηρείτε;

 

Συνοπτική Λύση

289. Διπλή ισορροπία

Η τετράγωνη πλάκα του σχήματος πλευράς α έχει βάρος w=50N και στηρίζεται σε λείο κατακόρυφο τοίχο.

Στην πλάκα και σε σημείο που απέχει από την κάτω έδρα της πλάκας απόσταση α/3, στηρίζεται μια ράβδος ΑΒ.

Η ράβδος ΑΒ έχει βάρος w=50N και μήκος L. Η πλάκα όπως και η ράβδος ισορροπούν. Στη θέση ισορροπίας της, η ράβδος σχηματίζει με το οριζόντιο έδαφος γωνία φ.

Α) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που δέχεται η πλάκα από τον κατακόρυφο τοίχο και από τη ράβδο.

Β) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος από την πλάκα και από το έδαφος.

Γ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η ράβδος με το έδαφος.

 Συνοπτική Λύση

281. Κυλινδρικό κουτί και μεταλλική σφαίρα.

 

Στο εσωτερικό ενός κυλινδρικού κουτιού μάζας Μ=0,7 Kg και ακτίνας r=20 cm, έχουμε κολλήσει μια μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m=1 Kg. Το σύστημα τοποθετείται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30⁰, έτσι ώστε η ΚΑ να είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Τότε:

α) Να υπολογίσετε τη ροπή του βάρους της σφαίρας ως προς το σημείο Κ,

β)Να δείξετε ότι το σύστημα αρχικά ισορροπεί.

γ) Να υπολογιστούν η στατική τριβή και η κάθετη αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο στο σύστημα των δυο σωμάτων.

δ) Αν απομακρύνουμε τη μάζα m τότε ο κύλινδρος αρχίζει να επιταχύνεται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση α

 Πόση γίνεται η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου;

Δίνονται: g=10m/s², 

 

Συνοπτική Λύση:

280. Κιβώτιο και κύλινδροι.

 

Ένα κιβώτιο μάζας M=100Kg στηρίζεται πάνω σε κυλίνδρους μάζας m με διάμετρο d=8cm, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το κιβώτιο είναι δεμένο με αβαρές σχοινί, το οποίο περνάει από τροχαλία και το οποίο έχει δεμένο στο άλλο άκρο του, σώμα μάζας m₁=40 Kg. Η τροχαλία έχει αμελητέα μάζα. Όταν αφήσουμε το σώμα m₁ ελεύθερο να κινηθεί και υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει ολίσθηση των κυλίνδρων, αυτό αποκτά επιτάχυνση α=2m/s². Τότε να υπολογιστούν:

α) η τάση του σχοινιού_,

β) η ταχύτητα του κιβωτίου, όταν κάθε κύλινδρος θα έχει κάνει 4/π στροφές,

Δίνεται  g=10m/s², ότι το κιβώτιο δεν χάνει την επαφή του με τους κυλίνδρους και ότι οι αποστάσεις μεταξύ των κυλίνδρων παραμένουν σταθερές.

 

ΣυνοπτικήΛύση:

279. Ισορροπία σε κεκλιμένο επίπεδο και πλαστική κρούση με ταλάντωση.

 Πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30⁰ βρίσκεται ένας κύλινδρος μάζας M και ακτίνας R=0,4m. Σε απόσταση r=R/2 από το κέντρο του κυλίνδρου και πάνω σε αυτόν βρίσκεται τυλιγμένο κατάλληλα ένα αβαρές σχοινί χωρίς να γλιστρά.

Το σχοινί περνάει από το αυλάκι μιας σταθερής τροχαλίας μάζας m₁ και ακτίνας r₁, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m=1Kg. Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο αυτό ισορροπεί. Τότε:

Α) Να υπολογιστεί η μάζα Μ του κυλίνδρου.

Β) Τη χρονική στιγμή t₀=0 κόβεται το νήμα και ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται προς τα κάτω στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή επιτάχυνση  μέτρου α_cm=10/3m/s². Τότε τη χρονική στιγμή t=3s να υπολογιστούν:

α) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του κυλίνδρου καθώς και η ταχύτητα υ_Α του σημείου επαφής του κυλίνδρου με το κεκλιμένο επίπεδο.

β) Η ταχύτητα υ_Β και η συνολική επιτάχυνση α_Β ενός σημείου Β της κάθετης στο κεκλιμένο επίπεδο διαμέτρου του, που απέχει απόσταση r από το κέντρο Κ του κυλίνδρου.

γ) η συνολική ταχύτητα υ_Γ του σημείου Γ που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο Κ του κυλίνδρου κατά μήκος μιας διαμέτρου του παράλληλης στο κεκλιμένο επίπεδο, καθώς και η συνολική επιτάχυνση του Γ η παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο.

Γ) Αν η μάζα m, διανύει απόσταση L=80cm και συγκρούεται πλαστικά με μάζα m₂=1Kg που πραγματοποιεί α.α.τ με εξίσωση x=ημ(5t) (S.I) και εκείνη τη στιγμή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της, κινούμενη προς τη θετική κατεύθυνση, τότε να βρείτε

α) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μάζας m τη στιγμή της σύγκρουσης και

β) την εξίσωση της α.α.τ του συσσωματώματος μετά την πλαστική κρούση.

Δίνεται g=10m/s².

 Συνοπτική Λύση:

278(Κύλινδρος και …ράβδος σε κεκλιμένο επίπεδο)

 

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα Μ=3Kg και ακτίνα R=10cm. Ο κύλινδρος βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30⁰ και  ισορροπεί οριακά, ώστε ίσα – ίσα να μην υπερπηδά το εμπόδιο ύψους h=5cm.

 Από το ανώτερο σημείο του κυλίνδρου περνά αβαρές σχοινί το οποίο δένεται από το μέσο ράβδου μάζας m και μήκους L=0,8m. Η ράβδος ισορροπεί σχηματίζοντας με το κεκλιμένο επίπεδο γωνία κλίσης θ=30⁰.

Τότε:

1)  Να υπολογιστεί η μάζα m της ράβδου. 

2) Να υπολογιστεί η δύναμη Ν, που ασκείται από την άρθρωση στη ράβδο.

3) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα. Να υπολογιστεί  η κινητική ενέργεια της ράβδου τη στιγμή που συγκρούεται με το κεκλιμένο επίπεδο.

Συνοπτική Λύση

277(87. Το μολύβι και η πασχαλίτσα)

 Πάνω σε κυλινδρικό ποτήρι με διάμετρο δ=6cm, ισορροπεί οριζόντια ένα λεπτό ομογενές μολύβι μήκους (ΑΒ)=L=15 cm και μάζας m=18g, έτσι ώστε να βρίσκεται κατά μήκος μιας διαμέτρου του στομίου του ποτηριού.

α) Σε ποια θέση πρέπει να βρίσκεται το κέντρο μάζας Κ του μολυβιού, ως προς το κέντρο Ο του στομίου του ποτηριού, ώστε αυτό να ισορροπεί οριακά;

β) Έστω ότι το κέντρο μάζας Κ του μολυβιού, απέχει οριζόντια απόσταση 2cm από το κέντρο Ο του στομίου του ποτηριού και ισορροπεί οριζόντια κατά μήκος μιας  διαμέτρου του στομίου. Τότε να υπολογιστούν οι δυνάμεις Ν₁ και Ν₂ που δέχεται το μολύβι από το χείλος του ποτηριού.

γ) Μια πασχαλίτσα μάζας m₁= 4g περπατάει κατά μήκος του μολυβιού από το κέντρο μάζας του προς το άκρο του Α.

Σε ποια ελάχιστη απόσταση από το Ο πρέπει να βρίσκεται αυτή ώστε το μολύβι να ανατραπεί; Θεωρείστε ότι αρχικά το μολύβι ισορροπεί όπως στην περίπτωση (β).

Συνοπτική λύση:

276(59. Ισορροπία της «πλάκας» )

 

Η τετράγωνη πλάκα του σχήματος πλευράς α έχει βάρος w=50N. Το σχοινί ΑΖ είναι αβαρές και έχει μήκος L. Η πλάκα ισορροπεί και το σχοινί ΑΖ στην προέκτασή του περνάει από το κέντρο Κ της πλάκας ενώ τέμνει τη μια πλευρά της πλάκας σε απόσταση  από το μέσο της Μ, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί ο τοίχος στην πλάκα,

β) να υπολογίσετε την τάση του σχοινιού.

γ) Αν θέλουμε η δύναμη από τον τοίχο να είναι μικρότερη, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κοντύτερο ή μακρύτερο σχοινί αν θέλουμε αυτό να περνάει από το σημείο Κ;

δ) Να υπολογίσετε την τάση του σχοινιού αν το σχοινί ΑΖ στην προέκτασή του περνάει από το κέντρο Κ της πλάκας ενώ τέμνει τη μια πλευρά της πλάκας σε απόσταση  από το μέσο της Μ. Θεωρείστε ότι ο τοίχος είναι λείος.

 

Συνοπτική Λύση

275(67. Ομογενής ράβδος που ισορροπεί οριακά)

Λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους L=1,6m και μάζας m=3Kg, είναι ακουμπισμένη σε λείο κατακόρυφο τοίχο ενώ το του μήκους της προεξέχει από ένα σκαλοπάτι όπως φαίνεται στο σχήμα και η ράβδος ισορροπεί. Α) Αν ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στη ράβδο και το σκαλοπάτι είναι μ= , να βρεθεί η τιμή της γωνίας φ, που πρέπει να σχηματίζει η ράβδος με το σκαλοπάτι ώστε η ράβδος να μη γλιστρά. Β) Στο σημείο Γ στηρίζουμε τη ράβδο μ’ ένα μεντεσέ ώστε αυτή να μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Κάποια στιγμή τοποθετούμε πάνω στη σανίδα και στο άκρο της Β, έναν κύλινδρο μάζας Μ=8Κg οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να βρείτε σε ποια απόσταση από το Γ πρέπει να βρίσκεται ο κύλινδρος καθώς κατέρχεται ώστε η σανίδα μόλις να περιστραφεί (ανατραπεί). Ποια είναι εκείνη τη στιγμή η ταχύτητα του κυλίνδρου; Δίνεται g=10m/s2 και για τον κύλινδρο Ιcm= ΜR2. 

  Συνοπτική λύση: