ΜΙΧΑΗΛ ΜΙΧΑΗΛ
Σώμα μάζας m είναι δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ και πραγματοποιεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Nα βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x, σε συνάρτηση με το χρόνο t. Θεωρείστε ότι δεν υπάρχει αρχική φάση φ0. Δίνεται g=10m/s2.
Στο κατακόρυφο
ελατήριο του σχήματος σταθεράς Κ=100N/m, έχουμε δέσει το σώμα μάζας Μ=1Κg ενώ μέσω αβαρούς νήματος το έχουμε
συνδέσει με τη σφαίρα μάζας m=3Kg.
Απομακρύνουμε το σύστημα
των δυο σωμάτων κατακόρυφα προς τα κάτω κατά Α=0,2m
και αφήνουμε το σύστημα να ταλαντωθεί.
β) Να κάνετε τη γραφική
παράσταση της τάσης του νήματος T(x) σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από
τη θέση ισορροπίας.
γ) Να κάνετε τη γραφική
παράσταση της τάσης του νήματος T(t) σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρήστε
την προς τα κάτω φορά θετική.
δ) Για ποιο πλάτος
ταλάντωσης η τάση του νήματος μηδενίζεται;
ε) Αν το όριο θραύσης του
νήματος είναι Τθρ=330Ν, τότε για ποια συχνότητα ταλάντωσης κόβεται
το νήμα στη θέση x=0,25m από τη θέση ισορροπίας; Θεωρήστε ότι
έχουμε επιλέξει κατάλληλο πλάτος ταλάντωσης. Δίνεται g=10m/s2.
Στο κύκλωμα του σχήματος η ηλεκτρική πηγή έχει στοιχεία Ε=20 V και r=2Ω. Ο διακόπτης δ είναι αρχικά κλειστός και η ομογενής ράβδος (ΛΜ) που έχει ωμική αντίσταση R=8Ω, μήκος L=1m και μάζα m=0,1Kg, ισορροπεί σε οριζόντια θέση όπως στο σχήμα.
Α) Να υπολογιστεί η
αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου.
Β) Τη χρονική στιγμή t0=0 ανοίγουμε το
διακόπτη.
i) Να αποδείξετε
τότε ότι η ράβδος πραγματοποιεί α.α.τ και
ii) Να βρείτε πως μεταβάλλεται με το χρόνο η τάση από
επαγωγή στα άκρα της ράβδου και να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση. Θεωρείστε για
την ταλάντωση την προς τα πάνω φορά θετική.
Γ) Να υπολογιστούν: ο ρυθμός
μεταβολής της κινητικής ενέργειας, και ο ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής
δυναμικής ενέργειας της ράβδου. Τι παρατηρείτε;
Δίνεται για τις πράξεις g=10m/s2.
Σε μια εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=Αημ(ωt+φο), η συχνότητα του διεγέρτη είναι διπλάσια από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή: f=2fo. Ποια σχέση συνδέει τους ρυθμούς μεταβολής της κινητικής dK/dt και της δυναμικής ενέργειας dU/dt του ταλαντωτή;
(i) dK/dt=-dU/dt (ii) dK/dt= -4dU/dt (iii) dU/dt= -4dK/dt.
Η άσκηση πρωτοδημοσιεύτηκε στο ylikonet
Ο χρόνος για να μεταβεί ένα υλικό σημείο που πραγματοποιεί α.α.τ από τη θέση ισορροπίας με ταχύτητα υ>0 στη θέση +x1, είναι ίσος με το χρόνο για να μεταβεί από τη θέση +x1 στην ακραία θέση +Α, αν:
α) x1=Αsqr2/2, β) x1=A/2, γ) x1=Asqr3/2.
1. Σώμα εκτελεί αρμονική
ταλάντωση και η εξίσωση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο
είναι x=Αημ(ωt+θ).
Η προηγούμενη εξίσωση θεωρούμε ότι προκύπτει από την επαλληλία των
εξισώσεων x1=Α1ημ(ωt)
και x2=Α2ημ(ωt+φ) που αντιστοιχούν στις εξισώσεις των απομακρύνσεων δύο
αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης και ίδιας θέσης
ισορροπίας. Αν η ενέργεια της ταλάντωσης x1 είναι Ε1=20J και η ενέργεια
της ταλάντωσης x2 είναι Ε2=80J τότε να υπολογίσετε την
ενέργεια Ε της ταλάντωσης x.
i)
oι κινητικές ενέργειες των ταλαντώσεων x1 και x2 την ίδια χρονική
στιγμή t είναι αντίστοιχα Κ1=45J και Κ2=20J. Τότε να υπολογίσετε για την ίδια χρονική στιγμή t την κινητική
ενέργεια Κ της ταλάντωσης x.
ii)
οι δυναμικές ενέργειες των ταλαντώσεων x1 και x2 τη χρονική στιγμή
t είναι αντίστοιχα U1=45J και U2=20J, τότε να υπολογίσετε εκείνη τη
χρονική στιγμή τη δυναμική ενέργεια U της ταλάντωσης x.
Σώμα μάζας m=5Kg ισορροπεί δεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=500Ν/m πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια χρονική στιγμή εξασκούμε στο σώμα μια μεταβλητή εξωτερική δύναμη που μεταβάλλεται με την απομάκρυνση x από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου όπως φαίνεται στο σχήμα.
Όταν η απομάκρυνση γίνει x1=8cm η δύναμη παύει να ασκείται.
β) Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή που παύει να ασκείται η δύναμη;
γ) Να δείξετε πως μόλις παύσει να ασκείται η δύναμη (τη χρονική στιγμή t0=0) το σύστημα πραγματοποιεί α.α.τ, και να γράψετε την εξίσωση x(t) της α.α.τ.
δ) Αν στην αρχή ασκηθεί στη μάζα m, μεταβλητή δύναμη της μορφής F=100(1+x) (S.I), όπου x είναι η απομάκρυνση από την αρχική θέση ισορροπίας της μάζας m, και θεωρώντας πως η δύναμη F ασκείται διαρκώς, τότε να γράψετε την εξίσωση x(t) της καινούργιας α.α.τ, και να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης.
Πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300 βρίσκεται ένας κύλινδρος μάζας M και ακτίνας R=0,4m. Σε απόσταση r=R/2 από το κέντρο του κυλίνδρου και πάνω σε αυτόν βρίσκεται τυλιγμένο κατάλληλα ένα αβαρές σχοινί χωρίς να γλιστρά.
Το σχοινί περνάει από το αυλάκι μιας σταθερής τροχαλίας μάζας m1 και ακτίνας r1, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m=1Kg. Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο αυτό ισορροπεί. Τότε:
Β) Τη χρονική στιγμή t0=0 κόβεται το νήμα και ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται προς τα κάτω στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή επιτάχυνση μέτρου αcm=10/3m/s2. Τότε τη χρονική στιγμή t=3s να υπολογιστούν:
α) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του κυλίνδρου καθώς και η ταχύτητα υΑ του σημείου επαφής του κυλίνδρου με το κεκλιμένο επίπεδο.
β) Η ταχύτητα υΒ και η συνολική επιτάχυνση αΒ ενός σημείου Β της κάθετης στο κεκλιμένο επίπεδο διαμέτρου του, που απέχει απόσταση r από το κέντρο Κ του κυλίνδρου.
γ) η συνολική ταχύτητα υΓ του σημείου Γ που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο Κ του κυλίνδρου κατά μήκος μιας διαμέτρου του παράλληλης στο κεκλιμένο επίπεδο, καθώς και η συνολική επιτάχυνση του Γ η παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο.
Γ) Αν η μάζα m, διανύει απόσταση L=80cm και συγκρούεται πλαστικά με μάζα m2=1Kg που πραγματοποιεί α.α.τ με εξίσωση x=ημ(5t) (S.I) και εκείνη τη στιγμή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της, κινούμενη προς τη θετική κατεύθυνση, τότε να βρείτε
α) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μάζας m τη στιγμή της σύγκρουσης και
β) την εξίσωση της α.α.τ του συσσωματώματος μετά την πλαστική κρούση.
Δίνεται g=10m/s2.
Μανομετρικός σωλήνας
ΑΒΓΔ σταθερής διατομής σχήματος ανεστραμμένου Π, είναι ανοικτός στα δυο του
άκρα. Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά Κ=20Ν/m. Αν στο ελεύθερο άκρο του δέσουμε σώμα μάζας m=100g και το τοποθετήσουμε στο σκέλος ΑΒ του μανομέτρου τότε
αυτό ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα ενώ κλείνει αεροστεγώς το σωλήνα.
Αν τραβήξουμε προς τα κάτω τα σώμα κατά x0=20cm και το αφήσουμε ελεύθερο τότε να αποδείξετε ότι πραγματοποιεί α.α.τ, να υπολογίσετε την περίοδό της και να γράψετε την εξίσωση x(t) της α.α.τ. (Θεωρείστε την προς τα πάνω φορά θετική).
Δίνεται το εμβαδό
εγκάρσιας διατομής του μανομέτρου Α=10cm2,
η πυκνότητα του νερού ρ=1000Kg/m3 και η
επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
Στις άκρες Α και Β μιας ράβδου ΑΒ μάζας Μ=2Κg και μήκους L=3m δένουμε δυο μικρές σφαίρες με μάζες m και 2m αντίστοιχα όπου m= Kg.
.......................................
Σώμα μάζας m=1,5kgr εκτελεί απλή
αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβές και εκτός πεδίου βαρύτητας με περίοδο Τ=1sec.
Τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο μέσο του διαστήματος με άκρα το σημείο
ισορροπίας Ο και το σημείο μέγιστης απομάκρυνσης Α και κινείται με ταχύτητα
υ=1m/sec δέχεται στιγμιαία ώθηση με φορά από το Α προς το Ο. Το πλάτος της
ταλάντωσης γίνεται A1=0,2m
όταν η ώθηση και η ταχύτητα είναι της ίδιας φοράς και A2=0,1m όταν είναι αντίθετης
φοράς. 
